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理解数学需要具备一种纯粹的感觉，即“数感”。本书为日本数学家、菲尔兹奖与沃尔夫奖得主小平邦彦先生的思想随笔文集，书中收录了小平邦彦先生对数学、数学教育的深思、感悟文章，记述了数学家对“数学”“数感”的独到理解，文笔幽默，深入浅出。同时，书中还辑录了小平邦彦先生在普林斯顿高等研究院时期，与赫尔曼•外尔等数学大家交流的趣闻轶事，对深入理解数学、数学教育具有深刻启示。

第 一章 001

数学笔记 002

数学印象 004

一位数学家的妄想 014

数学的奇妙 022

发明心理学与平面几何 024

学术交流——围绕数学世界 026

科学、与人类进步 041

第 二章 057

长此以往，日本将陷入危险之境 058

忘却原则的初等、中等教育——为什么、为了谁如此着急 061

对“新数学”运动的批判 083

什么扭曲了数学教育 088

令人费解的日本数学教育 096

第三章 103

忆往昔 104

回顾与…… 113

愈发难懂的数学 126

回忆普林斯顿 128

约翰斯 霍普金斯大学 134

赫尔曼 外尔老师 136

关于沃尔夫奖 144

数学是什么 149

第四章 179

来自普林斯顿的信件 180

写给21世纪的主人 234

小平邦彦（Kunihiko Kodaira），1915—1997，日本数学家，生前被选为日本学士院院士、美国科学院和德国哥廷根科学院外籍院士。先后在美国普林斯顿高等研究院、哈佛大学、约翰斯•霍普金斯大学、斯坦福大学、日本东京大学等任教授，在调和积分理论、代数几何学和复解析几何学等诸多领域做出了卓越贡献。1954年获菲尔兹奖，1957年被日本政府授予文化勋章，1984年获沃尔夫奖。著有《微积分入门》《复分析》《复流形理论》《几何世界的邀请》等。

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数学笔记

在我看来，数学书（包括论文）是最晦涩难懂的读物，将一本几百页的数学书从头到尾读一遍更是难上加难。翻开数学书，定义、公理扑面而来，定理、证明接踵而至。但是，数学这种东西，一旦理解则非常简单明了，所以我读数学书的时候，一般只看定理，努力去理解定理，然后自己独立思考数学证明。不过大多数情况下都是百思不得其解，最终只好参考数值的证明。然而，有时候反复阅读证明过程也难解其意，这种情况下，我便会尝试在笔记本中抄写这些数学证明。在抄写过程中，我会发现证明中有些地方不尽如人意，于是转而寻求是否存在更好的证明方法。如果能够顺利寻找到还好，若意识难以觅得，则多会陷入苦思，至无路可走、油尽灯枯才会作罢。

也许有人会不解，何必要如此左思右想，直接读到最后一页不就好了？想要更好地理解定理，仅仅读一遍定理的证明过程是远远不够的。反复阅读研究、做笔记，并且将定理运用与各种问题中才是最有效的方法。做笔记的目的不是为了背诵证明过程，而是花时间去详细分析定理所要表达的数学事实的结构。像这样彻底理解定理之后，日后即使忘记定理的证明过程也没有关系。当偶尔需要确认证明过程去重新复习时，会发现定理内容如同2+2=4一样清晰。

数学是一门具有高度技术性的学问，学习所有技术性的东西都需要长时间的反复练习。例如，如果想成为一名钢琴家，那唯一的方法是从小坚持每天练琴几小时。数学与钢琴也有共通的一面，即学习数学每天也需要花时间去反复练习。这有助于培养把握数学事实的感觉。在阅读与自己专业无关的数学书时，如果出现理解证明过程却无法理解定理内容的情况，则说明把握数学事实的感觉还不够发达。

数学的唯一理解方法

即使不做研究，只是阅读有关数学的书和论文，也非常费时。如果只读定理部分而跳过证明过程的话，似乎很快就能读完两三本书。但是实际上，跳过证明的阅读方式如浮光掠影，留下的印象非常浅，结果多会一无所得。想要理解数学书，只能一步一步遵循证明过程。数学的证明不是单纯的论证，还具有思考实验的意味。所谓理解证明，也不是确认论证中是否有错误，而是自己尝试重现思考实验的过程。换言之，理解也可以说是自身的体验。

训练计算技巧的重要性

人们通常认为数学是一门由缜密逻辑构成的学科，即使不是逻辑，也大同小异。在我看来，数学是一门依靠感觉的技术性学科，掌握数学离不开技巧的训练。各个大学的数学系都会开设专题研究讨论课来训练解题，数学中的技巧基本上是计算的技巧，其基础正是小学算术课上学的数字计算。

教数字计算时，必须要让学生理解数字计算的原理，不过仅仅理解原理还远远不够，还要通过练习训练技巧。钢琴演奏的原理实际上非常简单，但是演奏钢琴需要经过多年的技巧性训练，而且还是机械地练习音阶和琶音。数字计算也如此，只有重复机械、技巧性的训练，才能做到自由计算。对小学的算术课而言，最重要的是训练数字计算的技巧。

理解数学书（或者论文）是一种怎样的状态呢？只要步步验证以确认证明过程无误即是理解的状态吗？在阅读与自己专业无关的数学书时，我发现即使确认了证明的求证过程，之前不理解的定理仍然不得其意。虽然证明过程正确，不过总感觉整体印象模糊不清。与此相反，如果是自己专业领域的定理，即使不记得定理的证明过程，已经理解的内容也都格外清晰，正如我们能清晰地理解2+2=4一样。我们之所以能理解2+2=4，是因为自己是从感觉上把握了这一数学事实，而不是通过论证。定理的理解同样如此，应该从感觉上把握定理所要表达的数学事实。尝试摸索定理的证明过程，是一种从感觉上把握定理的方法，而并非为了检验证明过程的正确性（著名定理的正确性显然也不需要确认）。想要更好地理解定理，仅仅读一遍定理的证明过程是远远不够的。反复阅读研究做笔记，并且将定理运用于各种问题中才是有效的方法。做笔记的目的不是为了背诵证明过程，而是花时间去详细分析定理所要表达的数学事实的结构。像这样彻底理解定理之后，日后即使忘记定理的证明过程也完全没有关系（不过在大学毕业之前，还是需要记住证明过程来应对考试）。当偶尔需要确认证明过程去重新复习时，会发现定理内容如同2+2=4一样清晰，但定理的证明过程看起来总觉得有牵强附会之感。

书籍介绍

理解数学需要具备一种纯粹的感觉，即“数感”。本书为日本数学家、菲尔兹奖与沃尔夫奖得主小平邦彦先生的思想随笔文集，书中收录了小平邦彦先生对数学、数学教育的深思、感悟文章，记述了数学家对“数学”“数感”的独到理解，文笔幽默，深入浅出。同时，书中还辑录了小平邦彦先生在普林斯顿高等研究院时期，与赫尔曼•外尔等数学大家交流的趣闻轶事，对深入理解数学、数学教育具有深刻启示。