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本书着眼于模形式的经典理论，详细解说基本定义与性质、以及著名的猜想和结果等。书中还间杂数论、几何及等方面的相关技术与应用，视角力求多元，以期读者对这一领域的面貌能有宏观的掌握，为进一步涉足算术几何、代数数论、自守表示理论等学科奠定基础。

《现代数学基础丛书》序

导言

第一章基本定义 1

1.1 线性分式变换 2

1.2 圆盘模型 8

1.3 变换的分类和不动点 11

1.4 同余子群、尖点、基本区域 15

1.5 整权模形式初探 23

1.6 Dirichlet 区域 28

第二章案例研究 35

2.1 经典分析:Γ函数 35

2.2 Riemann函数初探 39

2.3 Eisenstein 级数:SL(2， Z) 情形 44

2.4 与j 函数 49

2.5 主同余子群 (N) 的Eisenstein 级数 54

2.6 同余子群的Eisenstein 级数概述 61

第三章模曲线的解析理论 64

3.1 复结构 65

3.2 添入尖点 68

3.3 同余子群情形 74

3.4 Siegel 定理与紧化 77

3.5 间奏: 可公度性、算术子群、四元数 83

3.6 整权模形式的一般定义 90

3.7 Petersson 内积 94

3.8 与复环面的关系 99

第四章维数公式与应用 109

4.1 热身: 除子类的计算 110

4.2 亏格公式 112

4.3 偶数权维数公式 115

4.4 应用举隅 120

4.5 亚纯模形式的存在性 126

4.6 奇数权维数公式 128

第五章Hecke 算子通论 132

5.1 双陪集与卷积 132

5.2 双陪集代数: 模与反对合 137

5.3 与Hermite 内积的关系 140

5.4 模形式与Hecke 算子 142

5.5 SL(2， Z) 情形概观: Hall 代数 146

5.6 特征形式初探 152

第六章同余子群的Hecke 算子 156

6.1 菱形算子和Tp 算子 157

6.2 双陪集结构 166

6.3 一般的Tn 算子和特征形式 174

6.4 旧形式与新形式 180

6.5 Atkin-Lehner 定理 185

第七章L-函数 192

7.1 Fourier 系数的初步估计 193

7.2 Mellin 变换与Dirichlet 级数 196

7.3 应用:从θ级数到平方和问题 201

7.4 Hecke 特征形式的L-函数 208

7.5 函数方程 211

7.6 凸性界 215

第八章椭圆函数和复椭圆曲线 219

8.1 椭圆函数 219

8.2 射影嵌入 225

8.3 复环面的情形 230

8.4 Jacobi 簇与椭圆曲线 234

8.5 加法结构和若干例子 240

8.6 复乘初阶 245

8.7 起源与应用 251

第九章上同调观模形式 256

9.1 模形式作为全纯截面 257

9.2 若干局部系统 261

9.3 上同调与滤过 265

9.4 Eichler-志村同构 272

9.5 抛物上同调 279

9.6 上同调观Hecke 算子 285

第十章模形式与模空间 290

10.1 Tate 曲线 291

10.2 几何模形式 295

10.3 Eichler-志村关系: Hecke 算子 302

10.4 Eichler-志村关系: 主定理 308

10.5 重访Hecke 代数 310

10.6 从特征形式构造Galois 表示 313

10.7 模性一瞥 319

参考文献 323

附录A 分析学背景 327

A.1 拓扑群及其作用 327

A.2 基本区域 331

A.3 正规收敛与全纯函数 334

A.4 无穷乘积 336

A.5 调和分析 339

A.6 Phragm′en-Lindel¨of 原理 342

附录B Riemann 曲面背景 345

B.1 层与局部系统 345

B.2 Riemann 曲面概貌 347

B.3 分歧复叠 352

B.4 态射与Riemann-Hurwitz 公式 354

B.5 全纯向量丛及其截面 358

B.6 亚纯微分的应用 362

B.7 Riemann-Roch 定理的陈述 365

附录C 算术背景 371

C.1 群的上同调 371

C.2 Galois 群及p-进数 372

C.3 Galois 表示和平展上同调 .374

符号索引 378

名词索引暨英译 380

《现代数学基础丛书》已出版书目 383

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书籍介绍

《模形式初步》主要探讨模形式的经典面向, 包括Hecke 算子和L-函数的相关理论. 后两章简介模曲线和模形式的联系. 附录提供了所需的分析、几何和数论知识.