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《数学分析习题课讲义(上册)》是教育部“国家理科基地创建名牌课程项目”的研究成果，其目的是为数学分析的习题课教学提供一套具有创新特色的教材和参考书。《数学分析习题课讲义(上册)》以编著者们近20年来在数学分析及其习题课方面的教学经验为基础，吸取了国内外多种教材和研究性论著中的大量成果，非常注意经典教学内容中的思想、方法和技巧的开拓和延伸，在例题的讲解中强调启发式和逐步深入，在习题的选取中致力于对传统内容的更新、补充与层次化。

《数学分析习题课讲义》分上下两册出版。上册内容为极限理论和一元微积分，下册内容为无穷级数和多元微积分。

《数学分析习题课讲义(上册)》可作为高等院校理工科教师和学生在数学分析习题课方面的教材或参考书，也可以作为研究生入学考试和其他人员的数学分析辅导书。

本书在2003年出版后，曾多次印刷，第2版在初版基础上保留了原书的基本框架和主要内容，此次修订增添、修改了许多内容。对于难度较大的参考题大幅度修改或重写了参考提示。

第一章 引论

1

§1.1 关于习题课教案的组织

1

§1.2 书中常用记号

2

§1.3 几个常用的初等不等式

3

1.3.1 几个初等不等式的证明

3

1.3.2 练习题

7

§1.4 逻辑符号与对偶法则

9

第二章 数列极限

12

§2.1 数列极限的基本概念

12

2.1.1 基本定义

12

2.1.2 思考题

13

2.1.3 适当放大法

14

2.1.4 例题

15

2.1.5 练习题

17

§2.2 收敛数列的基本性质

17

2.2.1 思考题

18

2.2.2 例题

18

2.2.3 判定数列发散的方法

21

2.2.4 练习题

25

§2.3 单调数列

26

2.3.1 例题

26

2.3.2 练习题

30

§2.4 Cauchy命题与Stolz定理

31

2.4.1 基本命题

31

2.4.2 例题

35

2.4.3 练习题

37

§2.5 自然对数的底e和Euler常数γ

37

2.5.1 与数e有关的两个问题

38

2.5.2 关于数e的基本结果

38

2.5.3 Euler常数γ

43

2.5.4 例题

44

2.5.5 练习题

45

§2.6 由迭代生成的数列

46

2.6.1 例题

46

2.6.2 单调性与几何方法

49

2.6.3 练习题

52

§2.7 对于教学的建议

53

2.7.1 学习要点

53

2.7.2 补充例题

54

2.7.3 参考题

55

第一组参考题

55

第二组参考题

57

§2.8 关于数列极限的一组习题课教案

60

2.8.1 第一次习题课

60

2.8.2 第二次习题课

62

2.8.3 第三次习题课

64

2.8.4 第四次习题课

65

第三章 实数系的基本定理

67

§3.1 确界的概念和确界存在定理

67

3.1.1 基本内容

67

3.1.2 例题

67

3.1.3 练习题

69

§3.2 闭区间套定理

70

3.2.1 基本内容

70

3.2.2 例题

71

3.2.3 练习题

72

§3.3 凝聚定理

73

3.3.1 基本内容

73

3.3.2 例题

73

3.3.3 练习题

74

§3.4 Cauchy收敛准则

74

3.4.1 基本内容

74

3.4.2 基本命题

75

3.4.3 例题

76

3.4.4 压缩映射原理

77

3.4.5 练习题

79

§3.5 覆盖定理

80

3.5.1 基本内容

80

3.5.2 例题

81

3.5.3 练习题

83

§3.6 数列的上极限和下极限

83

3.6.1 基本定义

83

3.6.2 基本性质

84

3.6.3 例题

88

3.6.4 练习题

91

§3.7 对于教学的建议

92

3.7.1 学习要点

92

3.7.2 一题多解

93

3.7.3 参考题

95

第一组参考题

95

第二组参考题

96

第四章 函数极限

97

§4.1 函数极限的定义

97

4.1.1 函数极限的基本类型

97

4.1.2 函数极限的其他类型

98

4.1.3 思考题

98

4.1.4 例题

99

4.1.5 练习题

102

§4.2 函数极限的基本性质

103

4.2.1 基本性质

103

4.2.2 基本命题

104

4.2.3 思考题

107

4.2.4 例题

107

4.2.5 练习题

109

§4.3 两个重要极限

110

4.3.1 lim_{x→0} sinx/x＝1

110

4.3.2 lim_{x→0} (1＋x)^{1/x}＝e

111

4.3.3 例题

112

4.3.4 练习题

114

§4.4 无穷小量、有界量、无穷大量和阶的比较

114

4.4.1 记号o,O与～

115

4.4.2 思考题

117

4.4.3 等价量代换法

119

4.4.4 练习题

121

§4.5 对于教学的建议

122

4.5.1 学习要点

122

4.5.2 参考题

122

第五章 连续函数

124

§5.1 连续性概念

124

5.1.1 内容提要

124

5.1.2 思考题

125

5.1.3 例题

125

5.1.4 练习题

128

5.2 零点存在定理与介值定理

129

5.2.1 定理的证明

129

5.2.2 例题

132

5.2.3 练习题

133

§5.3 有界性定理与最值定理

134

5.3.1 定理的证明

135

5.3.2 例题

136

5.3.3 练习题

136

§5.4 一致连续性与Cantor定理

137

5.4.1 内容提要

137

5.4.2 思考题

138

5.4.3 Cantor定理的证明

138

5.4.4 例题

139

5.4.5 练习题

142

§5.5 单调函数

143

5.5.1 基本性质

143

5.5.2 练习题

146

§5.6 周期3蕴涵混沌

146

5.6.1 动力系统的基本概念

147

5.6.2 Li-Yorke的两个定理

148

§5.7 对于教学的建议

152

5.7.1 学习要点

152

5.7.2 参考题

153

第一组参考题

153

第二组参考题

154

第六章 导数与微分

157

§6.1 导数及其计算

157

6.1.1 内容提要

157

6.1.2 思考题

158

6.1.3 例题

159

6.1.4 练习题

166

§6.2 高阶导数及其他求导法则

167

6.2.1 高阶导数计算

167

6.2.2 隐函数求导法

171

6.2.3 参数方程求导法

174

6.2.4 练习题

176

§6.3 一阶微分及其形式不变性

177

6.3.1 基本概念

177

6.3.2 微分与近似计算

177

6.3.3 一阶微分的形式不变性

179

6.3.4 练习题

180

§6.4 对于教学的建议

181

6.4.1 学习要点

181

6.4.2 参考题

181

第一组参考题

181

第二组参考题

183

第七章 微分学的基本定理

185

§7.1 微分学中值定理

185

7.1.1 基本定理

185

7.1.2 导函数的两个定理

193

7.1.3 例题

196

7.1.4 练习题

200

§7.2 Taylor定理

202

7.2.1 基本定理

203

7.2.2 例题

209

7.2.3 Euler数与Bernoulli数

214

7.2.4 练习题

218

§7.3 对于教学的建议

220

7.3.1 学习要点

220

7.3.2 参考题

221

第一组参考题

221

第二组参考题

223

第八章 微分学的应用

226

§8.1 函数极限的计算

226

8.1.1 L'Hospital法则

226

8.1.2 Taylor公式与极限计算

229

8.1.3 练习题

234

§8.2 函数的单调性

235

8.2.1 例题

235

8.2.2 练习题

238

§8.3 函数的极值与最值

238

8.3.1 例题

239

8.3.2 练习题

242

§8.4 函数的凸性

243

8.4.1 基本命题

243

8.4.2 练习题

249

§8.5 不等式

250

8.5.1 例题

250

8.5.2 用凸性证不等式

255

8.5.3 练习题

258

§8.6 函数作图

260

8.6.1 例题

261

8.6.2 练习题

263

§8.7 方程求根与近似计算

264

8.7.1 迭代算法的收敛速度

264

8.7.2 Newton求根法

268

8.7.3 练习题

272

§8.8 对于教学的建议

272

8.8.1 学习要点

272

8.8.2 参考题

274

第一组参考题

274

第二组参考题

275

第九章 不定积分

278

§9.1 不定积分的计算方法

278

9.1.1 内容提要

278

9.1.2 思考题

278

9.1.3 基本计算方法

279

9.1.4 例题

281

9.1.5 特殊计算方法

285

9.1.6 练习题

288

§9.2 几类可积函数

289

9.2.1 有理函数的积分

289

9.2.2 三角函数有理式的积分

291

9.2.3 无理函数积分的例子

293

9.2.4 练习题

296

§9.3 对于教学的建议

297

9.3.1 学习要点

297

9.3.2 参考题

298

第十章 定积分

299

§10.1 定积分概念与可积条件

299

10.1.1 定积分的定义

299

10.1.2 可积条件

300

10.1.3 练习题

304

§10.2 定积分的性质

306

10.2.1 积分中值定理

306

10.2.2 例题

307

10.2.3 对积分求极限

309

10.2.4 练习题

313

§10.3 变限积分与微积分基本定理

314

10.3.1 主要命题

314

10.3.2 例题

315

10.3.3 练习题

318

§10.4 定积分的计算

319

10.4.1 计算公式与法则

319

10.4.2 例题

320

10.4.3 对称性在定积分计算中的应用

323

10.4.4 用递推方法求定积分

325

10.4.5 积分中值定理的应用

327

10.4.6 练习题

329

§10.5 对于教学的建议

331

10.5.1 学习要点

331

10.5.2 参考题

332

第一组参考题

332

第二组参考题

334

第十一章 积分学的应用

336

§11.1 积分学在几何计算中的应用

336

11.1.1 基本公式与方法

336

11.1.2 例题

337

11.1.3 Guldin定理

341

11.1.4 练习题

343

§11.2 不等式

344

11.2.1 凸函数不等式

344

11.2.2 Schwarz积分不等式

346

11.2.3 其他著名积分不等式

348

11.2.4 不等式的其他例题

350

11.2.5 练习题

353

§11.3 积分估计与近似计算

354

11.3.1 积分值的估计

354

11.3.2 积分的近似计算

356

11.3.3 练习题

359

§11.4 积分学在分析中的其他应用

360

11.4.1 利用定积分求数列极限

360

11.4.2 Wallis公式与Stirling公式

362

11.4.3 Taylor公式的积分型余项

365

11.4.4 π的无理性证明

367

11.4.5 练习题

368

§11.5 对于教学的建议

369

11.5.1 学习要点

369

11.5.2 参考题

370

第一组参考题

370

第二组参考题

372

第十二章 广义积分

375

§12.1 广义积分的定义

375

12.1.1 基本定义

375

12.1.2 广义积分与和式极限

377

12.1.3 练习题

378

§12.2 广义积分的敛散性判别法

379

12.2.1 敛散性判别法

379

12.2.2 例题

382

12.2.3 练习题

387

§12.3 广义积分的计算

388

12.3.1 例题

388

12.3.2 几个特殊广义积分的计算

390

12.3.3 练习题

393

§12.4 广义积分的特殊性质

395

12.4.1 收敛无穷限积分的被积函数在无穷远处的性质

395

12.4.2 练习题

397

§12.5 对于教学的建议

398

12.5.1 学习要点

398

12.5.2 参考题

398

第一组参考题

398

第二组参考题

401

参考题提示

403

参考文献

417

中文名词索引

419

外文名词索引

423

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[14]的第二卷

书籍介绍

《数学分析习题课讲义(上册)》是教育部“国家理科基地创建名牌课程项目”的研究成果，其目的是为数学分析的习题课教学提供一套具有创新特色的教材和参考书。《数学分析习题课讲义(上册)》以编著者们近20年来在数学分析及其习题课方面的教学经验为基础，吸取了国内外多种教材和研究性论著中的大量成果，非常注意经典教学内容中的思想、方法和技巧的开拓和延伸，在例题的讲解中强调启发式和逐步深入，在习题的选取中致力于对传统内容的更新、补充与层次化。

《数学分析习题课讲义》分上下两册出版。上册内容为极限理论和一元微积分，下册内容为无穷级数和多元微积分。

《数学分析习题课讲义(上册)》可作为高等院校理工科教师和学生在数学分析习题课方面的教材或参考书，也可以作为研究生入学考试和其他人员的数学分析辅导书。

本书在2003年出版后，曾多次印刷，第2版在初版基础上保留了原书的基本框架和主要内容，此次修订增添、修改了许多内容。对于难度较大的参考题大幅度修改或重写了参考提示。